你真的了解宇宙速度吗?(中篇)

  导语:在理想状态下,有了足够的初速度,之后不再需要推动力,也能飞出地球、飞出太阳系。


你真的了解宇宙速度吗?(中篇)


  达到第一宇宙速度(水平方向),不会再掉落回地球上;


  达到第二宇宙速度,能脱离地球;


  达到第三宇宙速度,能脱离太阳;


  还有第四宇宙速度……


  你真的了解宇宙速度吗,能算出来那种?


  快来看下面的超详细讲解吧


  Episode 4


  第二宇宙速度


  我们高中的时候就学过机械能守恒定律,机械能等于动能加势能,在没有外力的作用下,机械能守恒,动能变大势能变小,动能变小势能变大。


你真的了解宇宙速度吗?(中篇)


  在天体力学和航天领域这一定律同样成立,在这里我们的研究对象很简单,只有两个物体,一个是比较大的中心引力体,比如地球,另一个是质量和中心引力体相比可以忽略不计的小天体,比如飞行器。我们要研究的就是小天体相对中心引力体的运动。飞行器的机械能E的公式是


  这个机械能公式是单位质量的机械能公式,即飞行器每千克物质的机械能,所以公式里是没有飞行器质量m这一参数的;右边的第一项是动能,v是飞行器速度;第二项是势能,


  是地球引力常数,r是飞行器地心距,而且这一项前面有个负号,在数值上始终是非正的。


  动能这一项大家都懂,和高中学的没什么两样,势能这一项可就有些讲究了,高中时是把地面的势能定义成0,水平面以上为正,以下为负,公式是U=mgh,单位质量的势能是U0=gh,这是典型的小尺度下的“平面-平行定常引力场”假设下的公式,对大尺度的中心引力场并不适用。中心引力体下的势能公式是上面的样子。


  还有一个问题就是势能为什么总是负的,这其实和我们的定义方法有关系,在天体力学里,势能的定义是将单位质量的物体从距离中心引力体r的位置逆中心引力方向向上一直抬升到无穷远的位置时所做的功,按照万有引力平方反比定律,把单位质量物体所受引力乘以高度变化量,从r一直积分到无穷远,就能得到势能这一项,上过高等数学的小伙伴都能很轻松的自己推导出来,由于做的功与万有引力方向相反,所以势能在数值上总是负的,从物理上也好理解,可以认为“无穷远”就是一个可以摆脱任何引力的自由大平原,每个中心引力体就是平原上的一个大坑,你在平原上的势能就为0,要是掉到坑里势能就会变负,这个中心引力体越重(越大),你距离引力中心点越近(r越小),则越势能负的越多,你想爬出来所需要的能量越大。


你真的了解宇宙速度吗?(中篇)


  很不幸,在一切天体上生存的生物(对,就是说我们人类)现在都在坑里,而且天体之间距离遥远,实现星际探测基本上就是从一个坑里爬出来到大平原再跳到另一个坑里的过程。月球探测除外,地球和月球两个“坑”比较近,不用完全爬到大平原从半道上就能跳进另外一个坑,实现地月旅行相对省能量(省力气)一些。我们在地球这个“坑”里,单位质量物质的势能大约是-6.25*10^7牛顿米,这个数负的好大、好悲催。


  怎么才能从势能的“坑”里爬出来呢?Bingo!用动能来换,你可以把动能理解为飞行器的“活力”或者“体力”,飞行器摆脱引力场的过程就是远离地球的过程,需要消耗体力,速度就会降低,如果初始速度不够大,飞行器可能爬“坑”爬到一半就没体力了,或者说速度变0了,那它就爬不出去了,那怎么能爬出去呢,那就是在“坑”底的时候,动能在数值上就要比势能大,至少也要一样大才行,也是是单位质量的动能至少要-6.25*10^7牛顿米,拿这个数乘以2再开根号,就可以得到11.2千米/秒。BlingBling,这就是第二宇宙速度!


  和第一宇宙速度的计算公式比较不知你发现没有,第二宇宙速度刚好是第一宇宙速度的根号2倍。事实上,在任意轨道高度上,施加水平速度使飞行器刚好能飞出地球引力场(沿抛物线轨道)所需要的速度都刚好是在这一轨道上做圆周运动所需水平速度的根号2倍!


  补充个小知识,刚才说月球离地球比较近,到月球旅行不用爬到平原上,只要爬到半路就能翻进月球的坑了,这个对应的从地球出发的初始速度是10.85千米/秒,比第二宇宙速度大约少350米/秒。


你真的了解宇宙速度吗?(中篇)


  出个题考考你呗,如果从地球以15千米/秒的速度出发飞向太空深处,不考虑其他天体作用,飞行器最终的飞行速度相对地球将会是多少呢?好算呀,出发时的动能是1.125*10^8牛顿米,扣掉势能后机械能是5*10^7牛顿米,机械能守恒飞到无穷远这个值保持不变,无穷远的势能为0,所以无穷远处飞行器的动能就是5*10^7牛顿米,折算回速度就是10千米/秒。这个速度也叫剩余速度,就是飞行器飞到无穷远把爬“坑”的力气用完后还能剩下的动能所对应的速度。


  小伙伴们对剩余速度是不是还感到不满意,觉得太慢了,星际航行怎么不也得整快点,以后甚至搞个曲率飞行超光速啥的?可真相往往更残酷,目前单级火箭最大推进速度还不到5千米/秒,多级火箭的运载能力也就刚刚能够达到比第二宇宙速度11.2千米/秒稍快一点点,远离地球,在太阳系里逛逛还行,要想飞出太阳系可就不行了,我们前面所理解的大平原,其实是另一个更大的“坑”的底部,这个大坑就是太阳系,要想爬出这个坑到银河系的大平原,这点剩余速度可就不够了。你看,人生道路曲折不能怨社会,连我们所处的宇宙都是大坑套小坑呢,下次你一定要把这些挫折看成自然规律,哭多了就习惯了。


你真的了解宇宙速度吗?(中篇)


  最后再附赠大家一个小秘密,飞行器机械能的表达式除了可以写成动能加势能外,还能写成下面的样子


  其中a是飞行轨道的长半轴。如果绕地球飞行的飞行器轨道是椭圆形的,那么轨道长半轴大于0,机械能为负,无法飞出地球引力场;若轨道是双曲线,那长半轴小于0,机械能为正,能够飞出地球引力场;若轨道为抛物线,则长半轴相当于无穷大,机械能为0,刚好能飞出引力场而不留剩余速度。问题是不是一下就变得简单啦?其实椭圆、抛物线、双曲线都属于圆锥曲线族,它们都是飞行器在平方反比万有引力作用下会飞出来的实际飞行轨迹,在数学上是可推导的,所以我们高中时学的这些曲线,可不是纯粹的数学游戏,它们可是大有来历的,背后可是站着伽利略、牛顿、高斯、雅可比、拉格朗日等一堆一堆的大咖呢!有兴趣的同学可以看看网上科普小文《N体问题的三百年》。


  Episode 5


  无穷远是多远


  我们前面的分析是只针对两个天体而言的,一个是中心引力体,另一个是飞行器,飞行器在无穷远处势能为0,但这个所谓的无穷远在工程实践上就有问题了,在工程上不管飞行器飞得多远,总还是有个具体的实际距离的,总不能让飞行器飞到地老天荒,而且在宇宙中也不是只有这两个天体,当飞行器飞得足够远,以至于第三个天体到这两个天体的距离不再远远大于这两个天体之间的距离时,再把飞行器的运动单纯看作是只受中心引力体的作用,而完全忽略不计第三个天体对飞行器的影响,就显得有点掩耳盗铃啦,这里就存在一个引力作用范围的问题。


你真的了解宇宙速度吗?(中篇)


  不妨把银河系看成一个大社会,里面的每个恒星都有自己的势力范围,太阳作为太阳系的黑社会老大,它的势力范围就是整个太阳系。太阳还有一堆小跟班,主要就是太阳系里的几颗行星,水星、金星、地球、火星、土星之流啦,他们每个都有自己的小势力范围,总的来说是行星重量越大、离太阳越远则其掌管的势力范围越大,当飞行器在这些行星的引力势力范围内飞行时,可以近似认为飞行器只受该颗行星的引力影响,其他行星和太阳对这个飞行器的万有引力影响可以忽略不计。如果飞行器飞出行星引力势力范围,则其运动主要由太阳的引力决定,可以忽略行星引力的影响。但总的来说,和整个太阳系的尺度相比,行星的势力范围还是非常有限的,在太阳系的绝大部分空间里还是太阳说了算的。


  现在的问题是,太阳这个黑社会老大到底怎么给手下的行星小兄弟们分地盘呢?话说太阳手下有个军师,此人名叫拉普拉斯,帮太阳分地盘的任务就落到了他的头上了,这家伙可是科学史上法国的一只大牛,是天体力学的主要奠基人、分析概率论的创始人、还是热化学的开拓者,顺路还研究了一下控制,搞了几个小公式,就是大家在《自动控制原理》、《最优控制理论》和《信号与系统》里学的拉普拉斯定理、拉普拉斯方程和拉普拉斯变换。他仔细考虑了一下,于是就帮太阳出了个主意,并放出了“天体摄动”这一概念大招。


  首先考虑地球和离地球很近的一个飞行器,它们构成一个地-卫系统,地球是中心引力体,可以简称为中心体,飞行器为第二体,然后再引入第三个天体,比如太阳,不妨叫它干扰体。由于干扰体距离地-卫系统太远或者本身质量太小(比如把月球作为干扰体),干扰体对中心体和飞行器的万有引力作用要远远小于中心体和飞行器之间的万有引力作用。这时研究飞行器的运动时,首先要考虑中心体(地球)对第二体(飞行器)的万有引力,然后再在此基础上考虑扰动体(太阳)的存在对飞行器的额外影响,这个影响就是扰动体对飞行器的万有引力加速度矢量减去扰动体对中心体的万有引力加速度矢量,这个矢量差就是扰动体对飞行器的摄动加速度!所以天体“摄动”是一个矢量差的概念,当考察遥远太阳对近地飞行器的摄动影响时,地心-太阳-飞行器的夹角越大时则摄动加速度越大,从数值上讲,摄动加速度ad1是远远小于地球对飞行器的中心引力加速度ac1的。


  拉普拉斯就是把摄动加速度与中心引力加速度的比值作为划定行星引力势力范围依据的,这个比值越大说明摄动作用产生的干扰力越大,行星对飞行器的影响力越小。还是考察这个近地飞行器,这个比值肯定是非常小的,因为摄动加速度远远小于中心引力加速度,下面我们把这个飞行器往距离地球更远的位置移动一些,不妨沿地日连线向太阳方向移动,显然中心引力加速度会受引力平方反比定律影响而变小,摄动加速度会变大,摄动加速度与中心引力加速度的比值会变大。


你真的了解宇宙速度吗?(中篇)


  事实上,从地球出发,不管从哪个方向远离地球,这个比值都会变大。那到底这个比值变到多大才算是地球引力势力范围的边界呢?地球是混黑社会的,总是比较贪婪,老想自己的势力范围越大越好,所以总想把这个比值定的比较大,于是拉普拉斯就说,地球你个小样儿也别不服,太阳是咱老大也不欺负你,既然是划界谁也别占谁便宜,太阳老大和你采用一样的办法来比比谁的影响力大,把这个飞行器放到太阳边上,让老大太阳当中心体,你地球来当扰动体,也把太阳系中各处的摄动加速度ad3与中心引力加速度ac3的比值标出来,确定太阳系中的某块地盘到底是太阳管还是地球管,就看你们谁在这的比值小,谁的比值小说明谁在这块地盘的绝对控制力越强,这块地盘就是谁的!双方没有异议了吧?好,开搞!最后一算,地球的引力势力影响范围是以地球为中心一个圆球形区域,这以外的地盘全是太阳的!


  这个近似为圆球形的区域就叫拉普拉斯影响球,地球拉普拉斯影响球的半径大约为93万公里,在影响球边界处,太阳作为摄动力对地球中心引力的扰动比例与地球作为摄动力对太阳中心引力的扰动比例是相等的,这一比值大约为8%。就是说在地球影响球内部即使完全不考虑太阳引力,飞行器受力分析时的误差不会大于8%。地球的势力范围划定,其他的行星参照同样方法都能划出自己的拉普拉斯影响球。其实在太阳的质量远远大于行星质量的情况下,这些影响球都是以行星为中心的近似球形形状,金星的影响球半径大约为62万公里,火星是58万公里。木星离太阳更远,质量更大,其影响球半径达到4800万公里,这个数是不是好大,但木星距离太阳有7.8亿公里呢!


  月球的影响球有点麻烦,主要是离地球太近,作为地球的跟班小弟,月球也想在自己周围划个小圈子,在月球-飞行器-地球这个三体组合中,月球相对于地球的影响球大约是以月球为中心半径为66000公里的球形区域,但在影响球边界上,摄动力、中心引力的比值高达41%,要忽略摄动来分析影响球边界周围的飞行器运动,简直是分分钟作死的节奏,对这个问题还有其他分析方法,比如引入内外影响球的概念,这不在本文的讨论范围内,还是以后找机会再聊吧。


你真的了解宇宙速度吗?(中篇)


  回到本集最开始的问题吧,我们研究的第一、第二宇宙速度都是只有地球和飞行器的二体问题,只有在地球影响球的范围内这些研究才是有意义的(虽然在影响球边界附近受力偏差也达到8%,好在影响球边界引力加速度的绝对值不大),到了影响球之外,就是太阳的地盘了,您老分析的再好可是二体问题的前提条件不成立啦!因此,从拉普拉斯影响球的观点看,对于地球中心引力场而言,无穷远还是有边界的,如果非要加上一个距离限制的话,那就是一万年,不不不,那就是九!十!三!万!千!米!

宇宙外面是什么 宇宙时空之旅 比宇宙更远的地方 旅行到宇宙边缘 宇宙速度

更多精彩

研究称宇航员打喷嚏将导致生命危险
简介:阿波罗11号的宇航员,从左开始依次为尼尔·阿姆斯特朗(Neil Armstrong)...
所属:宇宙奥秘
全球七大最重巨型陨石:非洲60吨天外来石
简介:国外一家博客网站近日对坠落于地球的最重的陨石进行了盘点,纳米比...
所属:宇宙奥秘
非洲上演唯美日环食奇观 拥抱太阳的火环
简介:据外媒报道,壮观的日环食天文奇景1日早上在非洲上空出现,在月球遮...
所属:宇宙奥秘
宇宙大爆炸之前是什么样的?听完科学家的解释恍然大悟
简介:现代物理理论认为宇宙是由奇点大爆炸而来,这个奇点是一个密度无限...
所属:宇宙奥秘
返回顶部 新浪微博 腾讯微博